Điều khiển PID số

Công thức của bộ điều khiển PID trình bày trong (3) là dạng hàm liên tục của biến e, trong đó có cả thành phần tuyến tính, đạo hàm và tích phân. Tuy nhiên, hệ thống máy tính và vi điều khiển lại là hệ thống số. Muốn xây dựng bộ điều khiển PID trên máy tính hay trên vi điều khiển chúng ta phải biết cách xấp xỉ phương trình liên tục thành dạng rời rạc. Để thực hiện “số hóa” bộ điều khiển PID trước hết tôi nói sơ qua thế nào là hệ thống số (digital) so với hệ thống liên tục hay hệ thống tương tự (analog). Hãy quan sát hệ thống điều chỉnh nhiệt độ đơn giản như trong hình 7.

Hình 7. Tự động điều chỉnh nhiệt độ
Giả sử chúng ta cần điều chỉnh nhiệt độ trong phòng ở một mức nào đó (tùy theo giá trị tham chiếu) bằng quạt. Cảm biến đo nhiệt độ và hồi tiếp về bộ khuyếch đại vi sai (so sánh và khuyếch đại). Nếu có sai số giữa giá trị tham chiếu và giá trị đo từ cảm biếm, bộ khuyếch đại vi sai sẽ tự động khuyếch đại sai số này và làm tăng hay giảm vận tốc của quạt để điều chỉnh nhiệt độ. Quá trình này xảy ra một cách liên tục. Bộ khuyếch đại vi sai trong trường hợp này chính là bộ điều khiển tương tự (analog controller). Bộ khuyếch đại này là một mạch điện tử thông thường như Opamp chẳng hạn. Nếu chúng ta thay bộ khuyếch đại này bằng một vi điều khiển AVR thì quá trình hiệu chỉnh không còn xảy ra liên tục nữa mà theo một chu kỳ nào đó. Ví dụ cứ mỗi 10 ms chúng ta đọc giá trị từ cảm biến một lần để tính toán sai số và xuất giá trị điều khiển quạt. Bộ điều khiển do AVR thực hiện gọi là bộ điều khiển số (digital controller) và khoảng thời gian 10ms này gọi là thời gian lấy mẫu (sampling time), đó là khoảng cách giữa 2 lần điều khiển liên tiếp. Rõ ràng thời gian lấy mẫu càng nhỏ (tấn số cao) thì việc hiệu chỉnh càng tiến gần đến sự “liên tục” và chất lượng điều khiển sẽ tốt hơn. Trong các bộ điều khiển số, thời gian lấy mẫu là một yếu tố rất quan trọng. Cần tính toán để thời gian này không quá lớn nhưng cũng đừng quá nhỏ, vì như thế sẽ hao phí thời gian thực thi.
Vì bộ điều khiển PID xây dựng trong AVR sẽ là bộ điều khiển số, chúng ta cần xấp xỉ công thức của bộ điều khiển này theo các khoảng thời gian rời rạc. Trước hết, thành phần P tương đối đơn giản vì đó là quan hệ tuyến tính Kp*e, chúng ta chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức này mà không cần bất kỳ xấp xỉ nào. Tiếp đến là xấp xỉ cho đạo hàm của biến e. Vì thời gian lấy mẫu cho các bộ điều khiển thường rất bé nên có thể xấp xỉ đạo hàm bằng sự thay đổi của e trong 2 lần lấy mẫu liên tiếp:
de/dt =(e(k) – e(k-1))/h.
Trong đó e(k) là giá trị hiện tại của e, e(k-1) là giá trị của e trong lần lấy mẫu trước đó và h là khoảng thời gian lấy mẫu (h là hằng số).

Hình 8. Xấp xỉ đạo hàm của biến sai số e
Thành phần tích phân được xấp xỉ bằng diện tích vùng giới hạn bởi hàm đường biểu diễn của e và trục thời gian. Do việc tính toán tích phân không cần quá chính xác, chúng ta có thể dùng phương pháp xấp xỉ đơn giản nhất là xấp xỉ hình chữ nhật (sai số của phương pháp này cũng lớn nhất). Ý tưởng được trình bày trong hình 9.

Hình 9. Xấp xỉ tích phân của biến sai số e
Tích phân của biến e được tính bằng tổng diện tích các hình chữ nhật tại mỗi thời điểm đang xét. Mỗi hình chữ nhật có chiều rộng bằng thời gian lấy mẫu h và chiều cao là giá trị sai số e tại thời điểm đang xét. Tổng quát:
(4)
Tổng hợp các xấp xỉ, công thức của bộ điều khiển PID số được trình bày trong (5)
(5)
Trong đó u là đại lượng output từ bộ điều khiển. Để đơn giản hóa việc tính thành phần tích phân, chúng ta nên dùng phương pháp “cộng dồn” (hay đệ quy):
(6)
Với I(k) là thành phần tích phân hiện tại và I(k-1) là thành phần tích phân trước đó.
Các công thức (5) và (6) rất dễ dàng để thực hiện bằng AVR. Do đó, đến lúc này chúng ta đã sẵn sàng để đưa ý tưởng vào lập trình cho chip.